Question

对于任意实数a、b、c，给出下列命题：
①“a＞b”是“

1

a

＜

1

b

”的必要条件；
②“

|a|＜1 |b|＜1

”是“|a+b|+|a-b|＜2”的充要条件；
③“a＜0”是“二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象恒在x轴下方”的必要条件；
④“b≠c”是“tanb≠tanc”的既不充分又不必要条件；
⑤不等式|2a-log₂a|＜2a+|log₂a|成立的充分不必要条件是a＞2．
以上命题中正确的个数是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：①分别取a=1，b=-2和a=-1，b=-2可判断“a＞b”与“

1

a

＜

1

b

”没有直接关系；
②已知|a|＜1，|b|＜1，可以得出a+b和a-b范围，由|a+b|+|a-b|＜2，也可推出a和b的范围，从而进行判断；
③a＜0，说明二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象开口向下，至于函数图象恒在x轴下方，还得看△与0的关系，据此进行判断；
④利用周期性进行判断；
⑤利用绝对值不等式进行判断，|a-b|≤|a|+|b|，进行判断；

解答：解：①可以取a=1，b=-2此时a＞b，但

1

a

＞

1

b

，
再取a=-1，b=2，可得

1

a

＜

1

b

，但此时a＜b，
∴“a＞b”是“

1

a

＜

1

b

”的既不充分也不必要条件，故①错误；
②∵|a|＜1，|b|＜1
∴-1＜a＜1，-1＜b＜1，
∴-2＜a+b＜2，-2＜a-b＜2
∴|a+b|＜2，|a-b|＜2
∴|a+b|+|a-b|＜4，∴|a|＜1，|b|＜1推不出|a+b|+|a-b|＜2
另一方面|a+b|+|a-b|＜2
∴|a+b|＜2，|a-b|＜2
∴-2＜a+b＜2，-2＜a-b＜2
∴-2＜a＜2，-2＜b＜2
∴|a|＜2，|b|＜2
∴|a+b|+|a-b|＜2推不出|a|＜1，|b|＜1．
∴②“

|a|＜1 |b|＜1

”是“|a+b|+|a-b|＜2”的既不充分也不必要条件，故②错误；
③∵a＜0，∴二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象开口向下，若二次函数图象恒在x轴下方，还得要求△＜0，
∴“a＜0”推不出“二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象恒在x轴下方”，反之则可以，
∴“a＜0”是“二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象恒在x轴下方”的必要条件，故③正确；
④∵b≠c，可取b=

π

4

，c=

π

4

+ kπ，但有tanb=tanc，∴b≠c推不出tanb≠tanc，
但tanb≠tanc一定有b≠c，∴④“b≠c”是“tanb≠tanc”的必要不充分条件，故④错误；
⑤若a＞0，则不等式|2a-log₂a|＜2|a|+|log₂a|=2a+|log₂a|，即可成立，
∴不等式|2a-log₂a|＜2a+|log₂a|推不出a＞2，反之则可以，
∴不等式|2a-log₂a|＜2a+|log₂a|成立的充分不必要条件是a＞2，故④正确；
故选A．

点评：此题是道小型综合题，涉及绝对值不等式，三角函数，二次函数的图象等知识点，要求同学们要充分掌握课本上的基本知识，不能眼高手低，是道不错的题．