Question

3．如图所示，△ACD是边长为1的等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于点E．则线段AE的长为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 由条件求得∠BCD=150°，又△BCD为等腰三角形，可得∠CBE=15°，故∠ABE=30°，可得∠AEB=105°．计算sin105°=sin（60°+45°）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，代入正弦定理$\frac{AE}{sin30°}=\frac{AB}{sin105°}$，求得AE．

解答 解：由题意可得，AC=BC=CD=DA=1，∠BAC=45°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+60°=150°．
又△BCD为等腰三角形，∴∠CBE=15°，故∠ABE=45°-15°=30°，故∠BEC=75°，∠AEB=105°．
再由 sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
△ABE中，由正弦定理可得$\frac{AE}{sin30°}=\frac{AB}{sin105°}$，
∴AE=$\sqrt{3}$-1，
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．