Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足下列条件：
①对任意的x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）；
②当x＞0时，f（x）＜0．
（1）证明f（x）在R上是减函数；
（2）在整数集合内，关于x的不等式f（x²-4）-f（2x-2a）＞f（0）的解集为{1}，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先取x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0，令y=-x，再取y=-x，可以证出f（-x）=-f（x），得函数f（x）在R上是奇函数，最后可以用定义证出f（x）在R上是减函数；
（2）原不等式等价于：x²-4＜2x-2a即x²-2x+2a-4＜0，设其左边为函数g（x）=x²-2x+2a-4，通过讨论函数值
g（0），g（1）和g（2）的正负，建立不等式组，可解出实数a的取值范围．

解答：解：（1）当时x=y=0，f（0）=f（0）+f（0），
得f（0）=0，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x）∴f（x）在R上是奇函数，
设x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数（6分）
（2）f（x²-4）-f（2x-2a）＞f（0）等价于
x²-4＜2x-2a即x²-2x+2a-4＜0（8分）
令g（x）=x²-2x+2a-4
根据题意，

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

的实数a的取值范围为2≤a＜

5

2

∴a∈[2，

5

2

)（12分）

点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性的判断与证明，及其一元二次方程与二次函数关系等知识点，属于中档题．