【题目】已知函数
．
当
时，求函数
的单调区间和极值；
若
在
上是单调函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
，极小值是
；（2）
【解析】
求出函数的导数，得到导数在
时为零
然后列表讨论函数在区间和上讨论函数的单调性，即可得到函数的单调区间和极值；
在
上是单调函数，说明
的导数
在区间恒大于等于0，或在区间恒小于等于
然后分两种情况加以讨论，最后综合可得实数a的取值范围．
易知，函数的定义域为
当
时，
当x变化时，
和的值的变化情况如下表：
x |
| 1 |
|
|
| 0 |
|
| 递减 | 极小值 | 递增 |
由上表可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，极小值是
由
，得
又函数为上单调函数，
若函数为上的单调增函数，
则
在上恒成立，
即不等式
在上恒成立．
也即
在上恒成立，
而
在上的最大值为
，所以
若函数为上的单调减函数，
根据，在上
，
没有最小值
所以
在上是不可能恒成立的
综上，a的取值范围为
口算能手系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示，在正方体
中，E是棱
的中点，F是侧面内
的动点，且
平面
，给出下列命题：
点F的轨迹是一条线段；
与
不可能平行；
与BE是异面直线；
平面
不可能与平面
平行．
其中正确的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3
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【题目】已知点P为曲线C上任意一点， 
，直线
、
的斜率之积为
．
（Ⅰ）求曲线
的轨迹方程；；
（Ⅱ）是否存在过点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
，使得
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
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【题目】如图，在平面直角坐标系
中，以
轴为始边做两个锐角
，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
（1）求
的值； （2）求
的值。
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【题目】如图，在三棱锥
中，AE垂直于平面
，
，
，点F为平面ABC内一点，记直线EF与平面BCE所成角为
，直线EF与平面ABC所成角为
．
Ⅰ
求证：
平面ACE；
Ⅱ若
，求
的最小值．
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【题目】已知
、
分别为双曲线
的左右焦点，左右顶点为
、
，
是双曲线上任意一点，则分别以线段
、
为直径的两圆的位置关系为（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上情况均有可能
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【题目】（1）在圆内直径所对的圆周角是直角.此定理在椭圆内（以焦点在
轴上的标准形式为例）可表述为“过椭圆
的中心
的直线交椭圆于
两点，点
是椭圆上异于的任意一点，当直线
，
斜率存在时，它们之积为定值.”试求此定值；
（2）在圆内垂直于弦的直径平分弦.类比（1）将此定理推广至椭圆，不要求证明.
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