Question

中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).

(1)求双曲线C的方程;

(2)若直线l₁:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A、B且·＞2(其中O为原点),求k的取值范围.

Answer 1

解:(1)设双曲线: =1(a＞0,b＞0).

由已知a=,c=2,∴b²=c²-a²=1.

故双曲线方程为-y²=1.

(2)将y=kx+代入双曲线方程得(1-3k²)x²-6kx-9=0,

∴得≠k²＜1.                                                     ①

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则

x₁+x₂=,x₁x₂=.

由·＞2,即x₁x₂+y₁y₂＞2,

而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+)(kx₂+)

=(1+k²)x₁x₂+k(x₁+x₂)+2

=(1+k²)+k+2＞2,

解得＜k²＜3,                                                                  ②

由①②得＜k²＜1,

∴k的取值范围是(-1,-)∪(,1).