Question

在数列{a_n}中，已知，，当n≥2且n∈N^*时，有．
（1）若b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求证：对任意n∈N^*，都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意在数列{a_n}中，已知，，根据等比数列的性质，证明等于一个常数即可；
（2）数列{b_n}是等比数列，，可得对a_n进行拆分，可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，然后进行求和，再进行证明；
解答：解：（1）当n=1时，有…（1分）
当n≥2时，有=
故数列{b_n}是等比数列，其首项为，公比为…（5分）
（2）由（1）知即…（6分）
故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=…（10分）
当n∈N^*时，有，故，
故，即…（13分）
点评：此题主要考查等比数列的性质，是一道中档题，第二问对a_n进行拆分求和，考查的知识点比较全面；