Question

【题目】已知PC⊥平面ABC，AC=2 ，PC=BC，AB=4，∠BAC=30°． 点D是线段AB上靠近B的四等分点，PE∥CB，PC∥EB．

（Ⅰ）证明：直线AB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若F为线段AC上靠近C的四等分点，求平面PDF与平面CBD所成锐二面角的正切值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AC2+AB2﹣2ACABcos30°= ，

所以BC=2，AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC，∠ABC=60°，又 ，

在△BCD中，由余弦定理，得： ，

∴ ，∵BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD；即CD⊥AB

∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，所以AB⊥PC；

又PC∩CD=C，PC，CD平面PCD，所以AB⊥平面PCD．…

（Ⅱ）因为PC⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PC⊥BC，又因为AC⊥BC，PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC．

因为 ，所以DF∥BC，所以DF⊥平面PAC，所以DF⊥FC，DF⊥PF，所以∠PFC就是平面PDF与平面CBD所成二面角的平面角， 即平面PDF与平面CBD所成锐二面角的正切值为 …

【解析】（1）在△ABC中，根据余弦定理求出BC=2，由勾股定理可得出AC⊥BC，在△BCD中，由余弦定理求出CD=，再根据勾股定理可得BD⊥CD，即CD⊥AB，又根据PC⊥平面ABC，得到AB⊥PC，不难证出结果，（2）根据题意不难证明出∠PFC就是平面PDF与平面CBD所成二面角的平面角，通过解三角形可得其正切值.