Question

如图所示的多面体中，正方形BB₁C₁C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边AB=

2

的等腰直角三角形，B₁A₁∥BA，B1A1=

1

2

BA．
（1）求证：C₁A₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）求直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：解法1：（1）证明C₁A₁⊥平面ABB₁A₁，利用线面垂直的判定定理，只需证明A₁C₁⊥A₁O，A₁C₁⊥AB；
（2）作BD⊥直线AA₁于D，连接C₁D，∠BC₁D即为直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角，再利用正弦函数，可求直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角的正弦值；
解法2：（1）C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用数量积为0证明垂直关系，即可证得线面垂直；
（2）求出面A₁C₁C的法向量

n

=(1，-1，1)，

BC1

=(0，-1，1)，利用向量的数量积公式即可求解．

解答：解法1：（1）证明：取AB的中点O，连接A₁O，OC．
∵AC=BC，∴CO⊥AB，
∵四边形A₁OBB₁为平行四边形，∴BB1

∥ .

.

A1O
∵BB1

∥ .

.

CC1，∴A1O

∥ .

.

CC1
又由CC₁⊥面ABC知CC₁⊥CO，∴四边形A₁OCC₁为矩形，
∴A₁C₁⊥A₁O，A₁C₁⊥AB…（4分）
又∵A₁O∩AB=C，∴C₁A₁⊥平面ABB₁A₁…（6分）
（2）解：作BD⊥直线AA₁于D，连接C₁D．
由（1）知平面AA₁C₁⊥平面ABB₁A₁，从而BD⊥平面AA₁C₁，
∴∠BC₁D即为直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角．…（8分）
∵A1O=1，AO=

2

2

，∴AA1=

3

2

，
于是

BD

AB

=sin∠BAA1=

A1O

AA1

，∴BD=

2

3

∴sin∠BC1D=

BD

BC1

=

6

3

，
∴直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角的正弦值为

6

3

．…（12分）
解法2：CA，CB，CC₁两两垂直，且CA=CB=CC₁=1，以C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系如图，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C1(0，0，1)，A1(

1

2

，

1

2

，1)，
所以

AC1

=(-1，0，1)，

C1A1

=(

1

2

，

1

2

，0)，

AA1

=(-

1

2

，

1

2

，1)，

AB

=(-1，1，0)．…（2分）
（1）证明：∵

C1A1

•

AA1

=0，

C1A1

•

AB

=0，
∴C₁A₁⊥AA₁，C₁A₁⊥AB，
又∵AA₁∩AB=A，
∴C₁A₁⊥平面ABB₁A₁…（6分）
（2）设面A₁C₁C的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n

•

AC1

=0，

n

•

C1A1

=0，可得

-x+z=0 1 2 x+ 1 2 y=0

，
令x=1，则

n

=(1，-1，1)…（8分）
又

BC1

=(0，-1，1)，
设直线B证明C₁与平面AA₁C₁所成的角为θ，则sinθ=|cos?

n

，

BC1

＞|=|

n • BC1

| n || BC1 |

|=

2

3 × 2

=

6

3

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，两法并用，解题的关键是掌握线面垂直的判定，作出线面角，正确构建空间直角坐标系，利用向量方法解决立体几何问题．