Question

f（x）=1+

a

2x+1

（a≠0）
（1）若f（0）=0，求a的值，并证明：f（x）为奇函数；
（2）用单调性的定义判断f（x）的单调性；
（3）在（1）的条件下，若f（x）＜m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的单调性及单调区间

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=1+

a

2

=0求出a=-2，代入得f（x）=1-

2

2x+1

，从而判断函数的奇偶性；
（2）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论；
（3）将恒成立问题转化为函数的最值问题．

解答： 解：（1）∵f（0）=1+

a

2

=0，∴a=-2，
故f（x）=1-

2

2x+1

，
其定义域为R，且对任意的x∈R，
f（-x）=1-

2

2-x+1

=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

=-f（x），
故f（x）为奇函数；
（2）任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1+

a

2x1+1

-1-

a

2x2+1

=（-a）•

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

；
∵x₁＜x₂，
∴0＜2x1＜2x2；
故

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
则当a＜0时，f（x）在R上是增函数；
当＞0时，f（x）在R上是减函数；
（3）由题意，f（x）=1-

2

2x+1

在R上是增函数，
则由2^x+1＞1可得，
f（x）＜1，
故若f（x）＜m恒成立，
则m≥1，故m的最小值为1．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．