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(本小题满分12分)
如图6,已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=1。
(1)求证:平面AB1D⊥平面B1BCC1
(2)求证:A1C//平面AB1D;
(3)求二面角B—AB1—D的正切值。

(1)证明见解析。
(2)证明见解析。
(3)二面角B—AB1—D的正切值为

解析解法一:
证明:(1)因为B1B⊥平面ABC,AD平面ABC,
所以AD⊥B1B   (1分)
因为D为正△ABC中BC的中点,[来源:学。科。网]
所以AD⊥BD   (2分)
又B1B∩BC=B,
所以AD⊥平面B1BCC1  (3分)
又AD平面AB1D,故平面AB1D⊥平面B1BCC1   (4分)
(2)连接A1B,交AB1于E,连DE   (5分)

因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点,所以E为AB1的中点  (6分)
又D为BC的中点,所以DE为△A1BC的中位线,
所以DE//A1C   (7分)
又DE平面AB1D,所以A1C//平面AB1D   (8分)
(3)解:过D作DF⊥AB于F,过F作FG⊥AB1于G,连接DG。
因为平面A1ABB1⊥平面ABC,DF⊥AB,所以DF⊥平面A1ABB1
又AB1平面A1ABB1,所以AB1⊥DF。
又FG⊥AB1,所以AB1⊥平面DFG,所以AB1⊥DG。  (9分)
又AB1⊥FG,所以∠DGF为二面角B—AB1—D的平面角。  (10分)
因为AA1=AB=1,
所以在正△ABC中,[来源:学+科+网]
  (11分)
所以在   (12分)
解法二:
解:建立如图所示的直角坐标系,依题意有:


(1)证明:由

又BC∩⊥BB1=B,所以AD⊥平面B1BCC1。  (4分)
又AD平面AB1D,所以平面AB1D⊥B1BCC1   (5分)
(2)证明:连接A1B,交AB1于E,连DE,
因为点E为正方形A1ABB1对角线的交点,所以E为AB1的中点,
   (6分)

又DE平面AB1D,所以A1C//平面AB1D   (8分)[来源:Z+xx+k.Com]
(3)解:设平面ABB1的一个法向量为
   (9分)
设平面AB1D的一个法向量为
   (10分)
所以    (11分)
所以
依图可得二面角B—AB1—D的正切值为   (12分)

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