(本小题满分12分)
如图6,已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=1。
(1)求证:平面AB1D⊥平面B1BCC1;
(2)求证:A1C//平面AB1D;
(3)求二面角B—AB1—D的正切值。
(1)证明见解析。
(2)证明见解析。
(3)二面角B—AB1—D的正切值为
解析解法一:
证明:(1)因为B1B⊥平面ABC,AD平面ABC,
所以AD⊥B1B (1分)
因为D为正△ABC中BC的中点,[来源:学。科。网]
所以AD⊥BD (2分)
又B1B∩BC=B,
所以AD⊥平面B1BCC1 (3分)
又AD平面AB1D,故平面AB1D⊥平面B1BCC1 (4分)
(2)连接A1B,交AB1于E,连DE (5分)
因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点,所以E为AB1的中点 (6分)
又D为BC的中点,所以DE为△A1BC的中位线,
所以DE//A1C (7分)
又DE平面AB1D,所以A1C//平面AB1D (8分)
(3)解:过D作DF⊥AB于F,过F作FG⊥AB1于G,连接DG。
因为平面A1ABB1⊥平面ABC,DF⊥AB,所以DF⊥平面A1ABB1。
又AB1平面A1ABB1,所以AB1⊥DF。
又FG⊥AB1,所以AB1⊥平面DFG,所以AB1⊥DG。 (9分)
又AB1⊥FG,所以∠DGF为二面角B—AB1—D的平面角。 (10分)
因为AA1=AB=1,
所以在正△ABC中,[来源:学+科+网]
在 (11分)
所以在 (12分)
解法二:
解:建立如图所示的直角坐标系,依题意有:
(1)证明:由,
得
又BC∩⊥BB1=B,所以AD⊥平面B1BCC1。 (4分)
又AD平面AB1D,所以平面AB1D⊥B1BCC1 (5分)
(2)证明:连接A1B,交AB1于E,连DE,
因为点E为正方形A1ABB1对角线的交点,所以E为AB1的中点,
即 (6分)
又DE平面AB1D,所以A1C//平面AB1D (8分)[来源:Z+xx+k.Com]
(3)解:设平面ABB1的一个法向量为
由 (9分)
设平面AB1D的一个法向量为
由 (10分)
所以 (11分)
所以,
依图可得二面角B—AB1—D的正切值为 (12分)
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题12分)
如图为正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD=a,M是EA的中点.(1)求证:(1) DM平面ABC;(2)CMAD;(3)求这个多面体的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)作图(不要求写出作法,请保留作图痕迹)
(1) 画出下图几何体的三视图(尺寸自定);
(2) 画出一个底面直径为4cm,高为2cm的圆锥的直观图
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
在四棱锥中,底面是一直角梯形,,,底面.
(1)求三棱锥的体积;
(2)在上是否存在一点,使得平面,若存在,求出的值;若不存在,试说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)
圆台的两底面半径分别是5cm和10cm,高为8cm, 有一个过圆台两母线的截面,且上、下底面中心到截面与底面的交线的距离分别为3cm和6cm,求截面面积. 圆台的侧面积和体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:单选题
已知两条直线m,n,两个平面α,β.给出下面四个命题:
①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;
②α∥β,m?α,n?β⇒m∥n;
③m∥n,m∥α⇒n∥α;
④α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是( )
A.①③ | B.②④ | C.①④ | D.②③ |
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