Question

已知a＞0且a≠1，数列{a_n}是首项与公比均为a的等比数列，数列{b_n}满足b_n=a_n•lga_n（n∈N^*）．
（1）若a=2，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若对于n∈N^*，总有b_n＜b_n+1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知有，，由此可得，用错位相减法求出它的值．
（2）由条件可得nlga＜（n+1）alga，所以，或，而，且，由此解得a的取值范围．
解答：解：（1）由已知有，．…（2分）
∴，
∴，…（5分）
所以，
求得 ．…（8分）
（2）b_n＜b_n+1即naⁿlga＜（n+1）aⁿ⁺¹lga．由a＞0且a≠1得nlga＜（n+1）alga．（2分）
所以，或…（3分）
即，或对任意n∈N*成立，…（5分）
而，且，解得 或a＞1，
即a的取值范围为（0，）∪（1，+∞）． …（8分）
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，用错位相减法求数列的前n项和．