Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差是b；等比数列{b_n}的首项是b，公比是a，其中a、b都是正整数，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（1）求a的值．
（2）若对于{a_n}、{b_n}，存在关系式a_m+2=b_n，试求数列{a_n}前n（n≥2）项中所有不同两项的乘积之和．

Answer 1

分析：（1）a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，结合等差数列{a_n}的首项为a，公差是b；等比数列{b_n}的首项是b，公比是a，可得a的范围，从而可求a的值；
（2）利用a_m+2=b_n，确定数列{a_n}的通项，从而可求数列{a_n}前n（n≥2）项中所有不同两项的乘积之和．

解答：解：（1）∵a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃
∴a＜b＜a+b＜ab＜a+2b．
∵ab＞b，a，b都为正整数，∴a＞1
∵ab＜a+2b，∴（a-2）b＜a．
∵b＞a，∴（a-2）b＜b，即（a-3）b＜0．
∵b为正整数，∴a-3＜0，解得a＜3．
∵a∈N，∴a=2； 
（2）由（1）知a=2，则a_m=2+（m-1）b，b_n=b•2^2n-1，
∵a_m+2=b_n，∴2+（m-1）b+2=b•2^2n-1，∴b（2^2n-1-m+1）=4
∵b≥3，∴b=4
从而a_n=2+4（n-1）=4n-2；
设数列{a_n}前n（n≥2）项中所有不同两项的乘积之和为S
因为（a₁+a₂+…+a_n）²=[

n(2+4n-2)

2

]2=4n⁴，
a12+…+an2 =16（1²+…+n²）-16（1+2+…+n）+4n=

4

3

n(4n2-1)
因为（a₁+a₂+…+a_n）²=a12+…+an2 +2S，
所以S=2n4-

2

3

n(4n2-1)．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．