Question

为了迎接2009年10月1日建国60周年，某城市为举办的大型庆典活动准备了四种保证安全的方案，列表如下：

其中安全系数表示实施此方案能保证安全的系数，每种方案相互独立，每种方案既可独立用，又可以与其它方案合用，合用时，至少有一种方案就能保证整个活动的安全．
（1）若总经费在1200万元内（含1200万元），如何组合实施方案可以使安全系数最高？
（2）要保证安全系数不小于0.99，至少需要多少经费？

Answer 1

分析：本题是一个相互独立事件的概率的应用题，
（1）当总经费在1200万元内（含1200万元），我们可以合用两种方案，也可以合用三种方案，但考虑到总经费在1200万元内，故我们只用比较合用CD与合用ABC的安全系数，即可得到答案．
（2）要保证安全系数不小于0.99，我们必须合用三种方案，共有4中选择，由（1）知，ABC合用不行，所以可以考虑ABC、ACD、BCD三种方案，从经费节约的角度考虑，先考虑ABD，若不行，再考虑ACD，若不行，再考虑BCD．代入计算，易得到答案．

解答：解：记P（A）表示实施A方案且保证安全的概率，
P(

.

A

)表示实施A方案且不保证安全的概率，
又记P（ABC）表示合用A，B，C方案且保证安全的概率，其它表示方法意义类似．
（1）若合用两种方案，就选择C和D方案，安全系数最高，
P（CD）=1-P(

.

C

)•P(

.

D

)=1-（1-0.8）（1-0.9）=0.98；
若合用三种方案，就只有选择A、B、C才能保证总经费在1200万元内（内含1200万元），
P（ABC）=1-P(

.

A

)•P(

.

B

)•P(

.

C

)=1-（1-0.6）（1-0.7）（1-0.8）=0.976，
显然，合用C、D方案安全系数最高．
（2）由（1）得要保证安全系数不小于0.99，
至少需要三种方案合用，共有4中选择，
由（1）知，ABC合用不行，所以可以考虑ABC、ACD、BCD三种方案，
从经费节约的角度考虑，先考虑ABD，
若不行，再考虑ACD，
若不行，再考虑BCD．
P（ABD）=1-P(

.

A

)•P(

.

B

)•P(

.

D

)=1-（1-0.6）（1-0.7）（1-0.9）=0.988，不行，
P（ACD）=1-P(

.

A

)•P(

.

C

)•P(

.

D

)=1-（1-0.6）（1-0.8）（1-0.9）=0.992，可以．
所以，选择A、C、D合用，可保证安全系数不小于0.99，且经费最少，共需要1400万元．

点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．