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如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是梯形,ADBC且∠ADC=60°,BC=2AD=4.
(1)求证:DC⊥PA;
(2)在PB上是否存在一点M(不包含端点P,B)使得二面角C-AM-B为直二面角,若存在求出PM的长,若不存在请说明理由.
(1)证明:取CD的中点O,连结PO,OA,
∵△PCD为正三角形,
∴PO⊥CD,∵AD=CD=2,
∴△ACD是正三角形,
∴AO⊥CD.
(2)∵平面PCD⊥平面ABCD,
平面PCD∩平面ABCD=CD,PO⊥CD,
∴PO⊥平面ABCD,
如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,
∵侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,
底面ABCD是梯形,ADBC且∠ADC=60°,BC=2AD=4,
D(1,0,0),C(-1,0,0),A(0,
3
,0),
P(0,0,
3
),B(-3,2
3
,0),设M(a,b,c),
PM
PB
,即(a,b,c-
3
)=λ(-3,2
3
,-
3
),
∴a=-3λ,b=2
3
λ
,c=
3
-
3
λ
,∴M(-3λ,2
3
λ
3
-
3
λ
),
AM
=(-3λ,2
3
λ-
3
3
-
3
λ)

CM
=(-3λ+1,2
3
λ,
3
-
3
λ)

AB
=(-3,
3
,0)

设平面CAM的法向量
m
=(x,y,z)

m
AM
=0
m
CM
=0

-3λx+(2
3
λ-
3
)y+(
3
-
3
λ)z=0
(-3λ+1)x+2
3
λy+(
3
-
3
λ)z=0

取z=0,y=
3
,得x=2-
1
λ
=-
-3λ+1

解得λ=
1
5
,∴
m
=(2-
1
λ
3
,0),
∵设平面ABM的法向量
n
=(x1,y1,z1),
n
AM
=0,
n
AB
=0

-3λx1+(2
3
λ-
3
)y1+(
3
-
3
λ)z1=0
-3x1+
3
y1=0

n
=(1,
3
3
λ-
3
1-λ
),
∵二面角C-AM-B为直二面角,
m
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面的中点。
(1)证明:
(2)求为轴旋转所围成的几何体体积。

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1CC1⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点,E为BC1的中点
(1)求证:OE平面A1AB;
(2)求二面角A-A1B-C1的正弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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1
2
PA
,F为PA的中点.
(I)求证:DF平面PEC
(II)若PE=
2
,求平面PEC与平面PAD所成锐二面角的余弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

平面α的一个法向量为
n
=(1,-
3
,0)
,则y轴与平面α所成的角的大小为(  )
A.
π
6
B.
π
3
C.
π
4
D.
6

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.
(1)求证:BM平面PAD;
(2)在侧面PAD内找一点N,使MN⊥平面PBD;
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB的中点.
(1)求证:BD1平面A1DE;
(2)求证:D1E⊥A1D;
(3)在线段AB上是否存在点E,使二面角D1-EC-D的大小为
π
6
?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,BD=
2
,∠ABD=90°,将它们沿对角线BD折起,折后的点C变为C1,且AC1=2.
(1)求证:平面ABD⊥平面BC1D;
(2)E为线段AC1上的一个动点,当线段EC1的长为多少时,DE与平面BC1D所成的角为30°?

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图:在平行六面体中,的交点。若则下列向量中与相等的向量是(    )
 
A. B.
C. D.

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