Question

已知x∈R，奇函数f（x）=x³-ax²-bx+c在[1，+∞）上单调．
（1）求字母a，b，c应满足的条件；
（2）设x₀≥1，f（x₀）≥1，且满足f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

Answer 1

（1）∵f（0）=0?c=0；f（x）+f（-x）=0?a=0．∵f'（x）=3x²-b，
若f（x）x∈[1，+∞）上是增函数，则f'（x）≥0恒成立，即b≤（3x²）_min=3
若f（x）x∈[1，+∞）上是减函数，则f'（x）≤0恒成立，这样的b不存在．
综上可得：a=c=0，b≤3．
（2）假设f（x₀）≠x₀，不妨设f（x₀）=a＞x₀≥1，
由（1）可知f（x）在[1，+∞）上单调递增，故f[f（x₀）]=f（a）＞f（x₀）＞x₀，
这与已知f[f（x₀）]=x₀矛盾，故原假设不成立，即有f（x₀）=x₀．