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12.已知|$\overrightarrow{a}$|=4,|$\overrightarrow{b}$|=3,(2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$)(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)=61.
(I)求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|;
(II)若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$,求△ABC的面积.

分析 (1)进行数量积的运算,可以求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-6$,从而可以求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$,进而可以得出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的值;
(2)由上面求出的$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-6$便可求出∠ABC的值,根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积.

解答 解:(1)由已知条件,$4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^{2}=4•16-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3•9=61$;
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-6$;
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=16-12+9=13$;
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$;
(2)如图,
由题意可得,$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=12cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=-6$;
$cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=-\frac{1}{2}$;
∴$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\frac{2π}{3}$;
∴$∠ABC=\frac{π}{3}$;
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|sin∠ABC=3\sqrt{3}$;
即△ABC的面积为3$\sqrt{3}$.

点评 考查向量数量积的运算及其计算公式,要求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的值,先求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$的方法,向量夹角的概念,需清楚向量夹角的范围,以及三角形的面积公式:S=$\frac{1}{2}absinC$.

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