Question

15．已知长方形ABCD中，AB=1，AD=$\sqrt{2}$，现将长方形沿对角线BD折起，使AC=a，得到一个四面体A-BCD，如图所示．
（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．
（2）当四面体A-BCD体积最大时，求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，解得a²=1，成立；若AD⊥BC，得AD⊥平面ABC，解得a²=-1，不成立．
（2）四面体A-BCD体积最大时面ABD⊥面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-CD-B的余弦值．

解答 解：（1）若AB⊥CD，由AB⊥AD，AD∩CD=D，
得AB⊥面ACD，
∴AB⊥AC，∴AB²+a²=BC²，即1+a²=2，解得a=1，
若AD⊥BC，由AB⊥AD，AB∩BC=B，
得AD⊥平面ABC，
∴AD⊥AC，∴AD²+a²=CD²，即2+a²=1，解得a²=-1，不成立，
∴AD⊥BC不成立．
（2）四面体A-BCD体积最大，
∵△BCD面积为定值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴只需三棱锥A-BCD的高最大即可，
此时面ABD⊥面BCD，
以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），C（$\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），D（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
面BCD的法向量为$\overrightarrow{OA}$=（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{CD}=（-\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}，0）$，$\overrightarrow{DA}=（0，-\frac{2\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-\frac{\sqrt{6}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}y+\frac{\sqrt{6}}{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
设二面角A-CD-B的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OA}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角A-CD-B的余弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查异面直线是否垂直的判断与求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．