Question

己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，斜率为1的直线与椭圆C交于不同两点M，N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线过点F（1，0），求线段的长；
（3）若直线过点（m，0），且以为直径的圆恰过原点，求直线的方程.

Answer 1

（1）椭圆C的方程；（2）线段的长为；（3）直线的方程为 .

试题分析：（1）根据椭圆的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，代入即可求得椭圆C的方程；（2）先用点斜式写出直线方程，再和椭圆方程联立，用弦长公式即可求出线段的长为；（3）设直线的方程为，直线与椭圆的两个交点设为，，把直线方程与椭圆方程联立，表示出，而以线段为直径的圆恰好过原点，即；联立即可求出直线的方程为 .
试题解析：（1）由题意：，，，
所求椭圆方程为.                                            4分
（2）由题意，直线的方程为：.
由得， 
所以.             6分
（3）设直线的方程为，
由消去y整理得.
因为直线l与椭圆C交于不同两点M、N，
所以
解得：
设，，
则，，
所以，
因为以线段为直径的圆恰好过原点，所以，
所以，即
解得，.
所求直线的方程为               10分