(本题满分共14分)如图,几何体为正四棱锥,几何体
为正四面体.
(1)求证:;
(2)求与平面
所成角的正弦值.
(1)解法一:取的中点
,连结
,由几何体
为正四面体得,
,所以
平面
,从而
.
连结交于点
,连结
得
平面
,
,所以
平面
,从而
.又
所以平面
,从而
.
解法二: 因为几何体为正四棱锥,几何体
为正四面体.
故可设
取
的中点
,连结
,由题意知
故是二面角
的平面角,
是二面角
的平面角,
在中,
,
所以,
在中,
,
所以
从而,从而
四点共面,
故四边形为菱形,从而
(2)由解法二知四边形为菱形,于是
,
∥
,
所以点到平面
的距离等于点
到平面
的距离,
设点到平面
的距离为
,由
得:
进而得,所以
与平面
所成角的正弦值
解法三:如图,以OB为x轴,OC为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系。
不妨设|OB|=1,则B(1,0,0),C(0,1,0), D(-1,0,0),A(0,-1,0)
因为为正四面体,所以
为正三角形,所以
,所以
,因此P(0,0,1)。
设的重心为M,则
面PCB,又
也为正三棱锥,因此
面PCB,因此O、M、Q三点共线,所以OQ垂直面PCB,即
是平面PCB的一个法向量,
由,
易得平面PCB的一个法向量可以取
,所以不妨设Q(a,a,a),则
,因为
解得a=1,所以Q(1,1,1)。
(1),
,
,所以
;
(2)设面PAD的一个法向量为,
,
,由
解得一个法向量
,
所以,
所以QD与平面PAD所成角的正弦值为。
【解析】略
科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分14分)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与
,且乙投球2次均未命中的概率为
.
(Ⅰ)求乙投球的命中率;
(Ⅱ)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求
的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源:2014届浙江温州市十校联合体高三上学期期初联考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分14分)已知两个不共线的向量,它们的夹角为
,且
,
,
为正实数.
(1)若与
垂直,求
;
(2)若,求
的最小值及对应的
的值,并判断此时向量
与
是否垂直?
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省高三第一学期期末考试理科数学 题型:解答题
(本题满分共14分)已知数列,
,且
,
(1)若成等差数列,求实数
的值;(2)数列
能为等比数列吗?若能,
试写出它的充要条件并加以证明;若不能,请说明理由。
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