Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（Ⅰ）函数f(x)=

1

x

是否属于集合M？说明理由：
（Ⅱ）若函数f（x）=kx+b属于集合M，试求实数k和b满足的约束条件．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f(x)=

1

x

是否属于集合M，由已知，即为方程

1

x0+1

=

1

x0

+1是否有解．
（Ⅱ）f（x）=kx+b∈M，既是说存在实数x₀，使得k（x₀+1）+b=kx₀+b+k+b成立，以此求解k，b满足的约束条件

解答：解：（Ⅰ）D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f(x)=

1

x

∈M，则存在非零实数x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，即

x

2 0

+x0+1=0
此方程无实数解，所以函数f(x)=

1

x

∉M
（Ⅱ）D=R，由f（x）=kx+b∈M，存在实数x₀，使得k（x₀+1）+b=kx₀+b+k+b，解得b=0
所以，实数k和b的取值范围是k∈R，b=0

点评：本题考查函数的性质，方程思想．考查阅读、分析、转化能力．