Question

设向量

a

=（cos（α+β），sin（α-β）），

b

=（cos（α-β），sin（α+β）），且

a

+

b

=(

4

5

，

3

5

)
（1）求tanα；
（2）求

2cos2 α 2 -3sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

的值．

Answer 1

分析：（1）根据

a

 和

b

的坐标求得

a

+

b

的坐标，再由

a

+

b

=(

4

5

，

3

5

)求得2cosαcosβ=

4

5

①，且2sinαcosβ=

3

5

②，用②除以①可得tanα 的值．
（2）根据

2cos2 α 2 -3sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

=

cosα-3sinα

sinα+cosα

=

1-3tanα

tanα+1

，把 tanα 的值代入运算求得结果，属于中档题．

解答：解：（1）∵向量

a

=（cos（α+β），sin（α-β）），

b

=（cos（α-β），sin（α+β）），
∴

a

+

b

=（cos（α+β）+cos（α-β），sin（α-β）+sin（α+β））=（2cosαcosβ，2sinαcosβ ）．
再由  

a

+

b

=(

4

5

，

3

5

)，可得2cosαcosβ=

4

5

 ①，且2sinαcosβ=

3

5

 ②．
②除以①可得 tanα=

3

4

．
（2）∵

2cos2 α 2 -3sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

=

cosα-3sinα

sinα+cosα

=

1-3tanα

tanα+1

=

1- 9 4

3 4 +1

=-

5

7

．

点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两角和差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题．