Question

已知函数f(x)=2

3

sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)+2cos2(x-

π

4

)-1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值及相应的x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），由周期公式即可求T的值．
（Ⅱ）由x∈[0，

π

2

]，可求

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

．从而可求最大值和最小值及相应的x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）+2cos²（x-

π

4

）-1
=

3

sin（2x+

π

2

）+cos（2x-

π

2

）
=

3

cos2x+sin2x
=2sin（2x+

π

3

）
T=

2π

2

=π． …7 分
（Ⅱ）因为x∈[0，

π

2

]，
所以 

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

．
所以 当2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

时，y_max=2；
当2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

时，ymin=-

3

．…（13分）
所以当x=

π

12

时，函数有最大值是2；当x=

π

2

时，函数有最小值是-

3

．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于中档题．