Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 满足 ，且a1=3． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）数列{an}的前n项和为Sn ， 且 ， ∴Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1+1，（n≥2，n∈N*），
即an=2an﹣1+1（n≥2，n∈N*），
∴an+1=2（an﹣1+1），
∴数列{an+1}是等比数列；
又a1+1=3+1=4，
∴ ，
∴ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
∴{ }是首项为 ，公比为 的等比数列，
因此
=
．
【解析】（Ⅰ）由数列{an}的前n项和与通项公式的定义，得出an=2an﹣1+1（n≥2，n∈N*），从而得出数列{an+1}是等比数列，由此求出{an}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）写出数列{an+1}的通项公式，从而得出{ }是等比数列，求出其前n项和，即可证明不等式成立．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．