Question

(本小题满分14分)

如图，在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，BE＝BC，F为CE的中点，求证：
(1) AE∥平面BDF；
(2) 平面BDF⊥平面BCE．

Answer 1

见解析。

本试题主要是考查了立体几何中线面的平行的判定和面面垂直的证明的运用。
（1）根据已知条件，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，BE＝BC，F为CE的中点，设AC∩BD＝G，连结FG，易知G是AC的中点，
因为 F是EC中点，所以在△ACE中，FG∥AE可知结论。
（2）因为 平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以 BC⊥平面ABE，从而得到BC⊥AE，再利用线面垂直得到面面垂直的判定。
证明：(1) 设AC∩BD＝G，连结FG，易知G是AC的中点，
因为 F是EC中点，所以 在△ACE中，FG∥AE．………2分
因为 AE?平面BDF，FG?平面BDF，
所以 AE∥平面BDF． ………………………………………6分
(2) 因为 平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以 BC⊥平面ABE．………8分
因为 AE?平面ABE，所以 BC⊥AE．…………………………………………………………10分
又AE⊥BE，BC∩BE＝B，所以 AE⊥平面BCE，又FG∥AE，
所以FG⊥平面BCE，……………………………………………………………………………12分
因为 FG?平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE．………………………………………………14分