Question

18．如图所示，四棱锥S-ABCD是底面ABCD为等腰梯形，CD∥AB，AC⊥BD，垂足为O，侧面SAD⊥底面ABCD，且∠ADS=$\frac{π}{2}$，AB=8，AD=$\sqrt{34}$，SD=$\sqrt{30}$，M为BS的中点．
（1）求证BS⊥平面AMC；
（2）求三棱锥B-CMD的体积．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的性质得出SD⊥平面ABCD，根据等腰梯形及对角线垂直计算CD，SA，SC，得出SA=AB，SC=BC，故而AM⊥SB，CM⊥SB，于是SB⊥平面AMC；
（2）计算BD，OC，得出S_△BCD，于是V_B-CDM=V_M-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•\frac{1}{2}SD$．

解答 证明：（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD．
∴OC=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，OA=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4$\sqrt{2}$．
∴AD²=OA²+OD²，即34=32+$\frac{1}{2}C{D}^{2}$，
∴CD=2．
∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，且∠ADS=$\frac{π}{2}$，
∴SD⊥平面ABCD，
∴SD⊥AD，SD⊥CD．
∴SA=$\sqrt{S{D}^{2}+A{D}^{2}}$=8，CD=$\sqrt{S{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
∴SA=AB，SC=BC．
∵M是SB的中点，
∴AM⊥SB，CM⊥SB．
又AM?平面AMC，CM?平面AMC，AM∩CM=M，
∴BS⊥平面AMC．
（2）∵M是BS的中点，
∴M到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}SD$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$．
∵BD=OB+OD=5$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{2}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}BD•OC$=$\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×\sqrt{2}=5$．
∴V_B-CMD=V_M-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h$=$\frac{1}{3}×5×\frac{\sqrt{30}}{2}$=$\frac{5\sqrt{30}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．