Question

3．已知8sinα+10cosβ=5，8cosα+10sinβ=5$\sqrt{3}$．求证：sin（α+β）=-sin（$\frac{π}{3}$+α）

Answer 1

分析 由题意可得：8sinα+10cosβ=10cos$\frac{π}{3}$…（1），8cosα+10sinβ=10sin$\frac{π}{3}$…（2），由（1）²+（2）²可解得：8=-20sin（α+β）．由（1）×sinα+（2）×cosα得：8+10sin（α+β）=10sin（$\frac{π}{3}$+α），代入上式结论即可得证．

解答 证明：∵8sinα+10cosβ=5=10cos$\frac{π}{3}$…（1）
8cosα+10sinβ=5$\sqrt{3}$=10sin$\frac{π}{3}$…（2）
∴（1）²+（2）²得：64+100+160sin（α+β）=100，
⇒64=-160sin（α+β）．
⇒8=-20sin（α+β）．
∴（1）×sinα+（2）×cosα得：8+10sin（α+β）=10sin（$\frac{π}{3}$+α），
⇒-20sin（α+β）+10sin（α+β）=10sin（$\frac{π}{3}$+α），
⇒sin（α+β）=-sin（$\frac{π}{3}$+α），得证．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数恒等式的证明，考查了转化思想，属于中档题．