Question

已知函数f（x）=Asin（3x+φ） （ A＞0，x∈（-∞，+∞），0＜φ＜π ） 在x=

π

12

时取得最大值4．
（1）求函数f（x）的最小正周期及解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数f（x）在[0，

π

3

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据y=Asin（ωx+∅）的最小正周期的求法求得此函数的最小正周期．由函数的最大值求A，根据函数在x=

π

12

时取得最大值4，求得φ，从而得到函数的解析式．
（2）令2kπ-

π

2

≤3x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可到函数f（x）的单调增区间．
（3）根据x∈[0，

π

3

]，结合正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，

π

3

]上的值域．

解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（3x+φ），故函数的最小正周期为T=

2π

3

．
由函数的最大值为4可得A=4，
由函数在x=

π

12

时取得最大值4可得 4sin（3×

π

12

+φ）=4，故

π

4

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z．
结合0＜φ＜π，可得 φ=

π

4

．
综上，函数f（x）=4sin（3x+

π

4

）．
（2）令2kπ-

π

2

≤3x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得≤

2kπ

3

-

π

4

≤x≤

2kπ

3

+

π

12

，
故函数f（x）的单调增区间为[

2kπ

3

-

π

4

，

2kπ

3

+

π

12

]，k∈z．
（3）∵x∈[0，

π

3

]，∴3x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，∴sin（3x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
故4sin（3x+

π

4

）∈[-2

2

，4]．
故函数f（x）在[0，

π

3

]上的值域为[-2

2

，4]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的最小正周期、单调性、定义域和值域，属于中档题．