Question

（2013•镇江一模）一位幼儿园老师给班上k（k≥3）个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a₀，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的

1

2

分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的

1

3

分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的

1

n+1

分给第n（n=1，2，3，…k）个小朋友．如果设分给第n个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为a_n．
（1）当k=3，a₀=12时，分别求a₁，a₂，a₃；
（2）请用a_n-1表示a_n；令b_n=（n+1）a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）是否存在正整数k（k≥3）和非负整数a₀，使得数列{a_n}（n≤k）成等差数列，如果存在，请求出所有的k和a₀，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知：a_n=（a_n-1+2）-

1

n+1

（a_n-1+2），将k=3，a₀=12代入可得a₁，a₂，a₃；
（2）将a_n=（a_n-1+2）-

1

n+1

（a_n-1+2）变形得（n+1）a_n=n（a_n-1+2）=na_n-1+2n，即b_n-b_n-1=2n，利用累加法可得b_n-b₀=n（n+1），进而得到数列{b_n}的通项公式；
（3）由（2）得a_n=n+

a0

n+1

，根据等差数列满足a₁+a₃=2a₂，代入求出a₀=0，a_n=n时，满足条件．

解答：解：（1）当k=3，a₀=12时，
a₁=（a₀+2）-

1

2

（a₀+2）=7，
a₂=（a₁+2）-

1

3

（a₁+2）=6，
a₃=（a₂+2）-

1

4

（a₀+2）=6，
（2）由题意知：a_n=（a_n-1+2）-

1

n+1

（a_n-1+2）=

n

n+1

（a_n-1+2），
即（n+1）a_n=n（a_n-1+2）=na_n-1+2n，
∵b_n=（n+1）a_n，
∴b_n-b_n-1=2n，
∴b_n-1-b_n-2=2n-2，
…
b₁-b₀=2，
累加得b_n-b₀=

(2+2n)

2

n=n（n+1）
又∵b₀=a₀，
∴b_n=n（n+1）+a₀，
（3）由b_n=n（n+1）+a₀，得a_n=n+

a0

n+1

，
若存在正整数k（k≥3）和非负整数a₀，使得数列{a_n}（n≤k）成等差数列，
则a₁+a₃=2a₂
即（1+

1

2

a₀）+3+

1

4

a₀=2（2+

1

3

a₀）
∴a₀=0
即当a₀=0时，a_n=n，对任意正整数k（k≥3），有{a_n}（n≤k）成等差数列．

点评：本题主要考查数列的定义、通项求法；考查反证法；考查递推思想；考查推理论证能力；考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力．本题还可以设计：如果班上有5名小朋友，每个小朋友都分到糖果，求 的最小值．