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18.已知正实数a,b满足a+b=3,则$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{4+b}$的最小值为(  )
A.1B.$\frac{7}{8}$C.$\frac{9}{8}$D.2

分析 由已知可得$\frac{a}{3}+\frac{b}{3}=1$,代入$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{4+b}$,然后利用基本不等式求最值.

解答 解:∵a+b=3,
∴$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{4+b}$=$\frac{\frac{a}{3}+\frac{b}{3}}{1+a}+\frac{\frac{4a}{3}+\frac{4b}{3}}{4+b}$=$\frac{\frac{a}{3}+\frac{b}{3}}{\frac{4a}{3}+\frac{b}{3}}+\frac{\frac{4a}{3}+\frac{4b}{3}}{\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3}}$
=$\frac{\frac{1}{8}(\frac{4a}{3}+\frac{b}{3})+\frac{1}{8}(\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3})}{\frac{4a}{3}+\frac{b}{3}}+\frac{\frac{1}{2}(\frac{4a}{3}+\frac{b}{3})+\frac{1}{2}(\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3})}{\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3}}$
=$\frac{1}{8}+\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{8}(\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3})}{\frac{4a}{3}+\frac{b}{3}}+\frac{\frac{1}{2}(\frac{4a}{3}+\frac{b}{3})}{\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3}}$$≥\frac{5}{8}+2\sqrt{\frac{1}{8}×\frac{1}{2}}=\frac{5}{8}+\frac{1}{2}=\frac{9}{8}$.
当且仅当$(\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3})=2(\frac{4a}{3}+\frac{b}{3})$,即a=$\frac{5}{3}$,b=$\frac{4}{3}$时等号成立.
故选:C.

点评 本题考查利用基本不等式求最值,关键是掌握该类问题的求解方法,是中档题.

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