Question

12．已知函数y=2tan（3x-$\frac{π}{4}$），试求函数的定义域、值域、最小正周期、单调区间并判断函数的奇偶性．

Answer 1

分析 根据正切函数的图象和性质进行求解即可．

解答 解：令3x-$\frac{π}{4}$=z，已知函数化为y=2tanz，
由于函数y=2tanz对不等于z≠kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）的实数z都有意义，且值域是R，
∴原函数的定义域是{x丨3x-$\frac{π}{4}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z）}，
即{x丨x≠$\frac{k}{3}π$+$\frac{π}{4}$，（k∈Z）}，值域是R；
又由，2tan（3x-$\frac{π}{4}$+π）=2tan（3x-$\frac{π}{4}$）=2tan[3（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{4}$]．
设y=f（x），上式即是f（x+$\frac{π}{3}$）=f（x）对定义域内的任意x都成立，
由周期函数的定义可知：y=2tan（3x-$\frac{π}{4}$）的最小正周期$\frac{π}{3}$，
∴当-$\frac{π}{2}$+kπ＜3x-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$+kπ，（k∈Z），时，函数y=f（x）单调递增，
即函数的单调增区间是（-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{3}$，$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{3}$），（k∈Z），
∵f（-x）≠f（x），f（-x）≠-f（x），
∴函数是非奇非偶函数．

点评 本题主要考查正切函数的性质，根据正切函数的定义域以及周期，单调性及奇偶性的性质是解决本题的关键．属于基础题．