Question

已知向量

m

=(sinx，

3

)，

n

=(1，cosx)，若函数f(x)=

m

•

n

（1）求f（x）的最小正周期及最小值
（2）当x∈[-

π

3

，

2π

3

]时，求f（x）的减区间．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量数量积的坐标运算公式，结合辅助角公式化简可得f（x）=2sin(x+

π

3

)，再由正弦函数的图象与性质，即可得到求f（x）的最小正周期及最小值．
（2）根据题意，当x∈[-

π

3

，

2π

3

]时，在x=

π

6

处函数有最大值为2，再结合函数的周期为2π，即可得到f（x）的减区间为[

π

6

，

2π

3

]．

解答：解：∵向量

m

=(sinx，

3

)，

n

=(1，cosx)，
∴

m

•

n

=sinx•1+

3

•cosx
可得：f(x)=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)
∴f（x）的最小正周期是T=2π，最小值是-2
（2）∵x∈[-

π

3

，

2π

3

]，可得x+

π

3

∈[0，π]，
∴在x=

π

6

处函数有最大值f（

π

6

）=2，因此当

π

2

≤x+

π

3

≤π时，
即

π

6

≤x≤

2π

3

时，f（x）为减函数，
由此可得，f（x）的减区间为[

π

6

，

2π

3

]．

点评：本题以向量的数量积运算为载体，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．