Question

已知点列M₁(x₁,1),M₂(x₂,2),…,M_n(x_n,n),…,且与向量a_n=(-c,cⁿ⁺¹)垂直,其中c是不等于零的实常数,n是正整数,设x₁=1,求数列{x_n}的通项公式,并求其前n项和S_n.

Answer 1

解:由题意得=(x_n+1-x_n,1),

∵与向量a_n=(-c,cⁿ⁺¹)(c≠0)垂直,

∴·a_n=0,即-c(x_n+1-x_n)+cⁿ⁺¹=0.

∵c≠0,∴x_n+1-x_n=cⁿ.

∴x_n=(x_n-x_n-1)+(x_n-1-x_n-2)+…+(x₂-x₁)+x₁=c^n-1+c^n-2+…+c+1.

当c=1时,x_n=n,此时S_n=1+2+3+…+n=;

当c≠1时,x_n=c^n-1+c^n-2+…+c+1=,

此时S_n=x₁+x₂+…+x_n=++…+

=-(c+c²+…+cⁿ)

=-·=-.