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已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列{an}前n项和为Sn,且满足S5=2a4+a5,a9=a3+a4
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若amam+1=am+2,求正整数m的值;
(3)是否存在正整数m,使得
S2m
S2m-1
恰好为数列{an}中的一项?若存在,求出所有满足条件的m值,若不存在,说明理由.
考点:等比数列的性质,等差数列的性质
专题:压轴题,等差数列与等比数列
分析:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q由题意列式求出公差和公比,则等差数列和等比数列的通项公式即可得出;
(2)分am=2k和am=2k-1,利用amam+1=am+2即可求出满足该等式的正整数m的值;
(3)对于k∈N*,有S2k=
(1+2k-1)k
2
+
2(1-3k)
1-3
=k2-1+3k

S2k-1=S2k-a2k=k2-1+3k-2•3k-1=k2-1+3k-1.假设存在正整数m,使得
S2m
S2m-1
恰好为数列{an}中的一项,设
S2m
S2m-1
=L(L∈N*),则
m2-1+3m
m2-1+3m-1
=L
,变形得到(3-L)3m-1=(L-1)(m2-1),由此式得到L的可能取值,然后依次分类讨论求解.
解答: :解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
则a1=1,a2=2,a3=1+d,a4=2q,a9=1+4d.
∵S5=2a4+a5
∴a1+a2+a3=a4,即4d=2q,
又a9=a3+a4
∴1+4d=1+d=2q.
解得:d=2,q=3.
∴对于k∈N*,有a2k-1=1+(k-1)•2=2k-1,a2k=2•3k-1
an=
n,n=2k-1
2•3
n
2
-1
,n=2k
k∈N*

(2)若am=2k,则由amam+1=am+2,得
2•3k-1(2k+1)=2•3k,解得:k=1,则m=2;
若am=2k-1,则由(2k-1)•2•3k-1=2k+1,
此时左边为偶数,右边为奇数,不成立.
故满足条件的正数为2;
(3)对于k∈N*,有
S2k=
(1+2k-1)k
2
+
2(1-3k)
1-3
=k2-1+3k

S2k-1=S2k-a2k=k2-1+3k-2•3k-1=k2-1+3k-1
假设存在正整数m,使得
S2m
S2m-1
恰好为数列{an}中的一项,
又由(1)知,数列中的每一项都为正数,故可设
S2m
S2m-1
=L(L∈N*),
m2-1+3m
m2-1+3m-1
=L
,变形得到
(3-L)3m-1=(L-1)(m2-1)①.
∵m≥1,L≥1,3m-1>0,
∴L≤3.
又L∈N*,故L可能取1,2,3.
当L=1时,(3-L)3m-1>0,(L-1)(m2-1)=0,
∴①不成立;
当L=2时,(3-2)3m-1=(2-1)(m2-1),即3m-1=m2-1.
若m=1,3m-1≠m2-1,
Tm=
m2-1
3m-1
(m∈N*,m≥2)

Tm+1-Tm=
(m+1)2-1
3m
-
m2-1
3m-1

=
-2m2+2m+3
3m
=
-2(m+
1
2
)2+
7
2
3m

-2m2+2×2+3
32
<0

因此,1=T2>T3>…,
故只有T2=1,此时m=2,L=2=a2
当L=3时,(3-3)3m-1=(3-1)(m2-1).
∴m=1,L=3=a3
综上,存在正整数m=1,使得
S2
S1
恰好为数列{an}中的第三项,
存在正整数m=2,使得
S4
S3
恰好为数列{an}中的第二项.
点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,训练了分类讨论的数学思想方法,考查了学生综合分析问题和解决问题的能力,考查了学生的逻辑思维能力,是压轴题.
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