Question

【题目】已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.

（Ⅰ）若，求曲线的方程；

（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；

（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）和.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由，可得，解出即可；

(Ⅱ)设点，设直线，与椭圆方程联立可得：，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得： ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.

(Ⅰ)由题意：，

，解得，

则曲线的方程为：和.

(Ⅱ)证明：由题意曲线的渐近线为：，

设直线，

则联立，得，

，解得：，

又由数形结合知.

设点，

则，，

，，

，即点在直线上.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，点，

设直线的方程为：，

联立，得：，

，

设，

，，

，

面积，

令，，

当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.