Question

给出下列四个命题：
①“若x∈R，则x²+1≥1”的逆否命题是真命题；
②函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上不存在零点；
③若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题；
④m≥-1，则函数y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域为R．
其中真命题是

①④

（填上所有真命题的代号）

Answer 1

分析：①、由于原命题与其逆否命题的真假性一致，故可判断其原命题的真假，得到正确结论；
②、由于函数为单调函数，要判断是否存在零点，只需验证函数在区间左右端点函数值的乘积是否小于零即可；
③、考察复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断即可；
④、由于对数函数值域是R，则只需让真数取遍（0，+∞）内的所有实数即可，即需让（0，+∞）为函数t=x²-2x-m值域的子集，求出m的范围可得正确结论．

解答：解：①、由于x∈R，则x²≥0，所以x²+1≥1，又由于原命题与其逆否命题的真假性一致，所以“若x∈R，则x²+1≥1”的逆否命题是真命题，故①正确；
②、由于函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上为增函数，且f（1）f（e）=（ln1-2+1）（lne-2+e）=-1×（e-1）=1-e＜0，
则函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点，故②错误；
③、由于p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，又由p∧q为真命题，则p，q都为真命题，所以“若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题”为假命题，故③错误；
④、由于对数函数y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域是R，则需让真数t=x²-2x-m的值取遍（0，+∞）内的所有实数，即△=4+4m≥0，解得m≥-1，故④正确．
故答案为①④．

点评：本题考查命题的真假判断，需要对四个命题逐一检验，方可得到正确结论．注意：原命题与其逆否命题的真假性一致；若对数函数值域是R，则只需让真数取遍（0，+∞）内的所有实数即可．