Question

一圆锥侧面展开图为半圆，平面α与圆锥的轴成45°角，则平面α与该圆锥侧面相交的交线为（　　）

• A、圆
• B、抛物线
• C、双曲线
• D、椭圆

Answer 1

分析：先设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出母线与高的夹角的正弦值，也就求出了夹角的度数．再根据平面α与圆锥的轴成45°角，找到从不同角度截圆锥体得到的截面的形状，判断出相应的不可能的截面即可．

解答：解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，
则：πR=2πr，
∴R=2r，
∴母线与高的夹角的正弦值=

r

R

=

1

2

，
∴母线与高的夹角是30°．
由于平面α与圆锥的轴成45°＞30°；
则平面α与该圆锥侧面相交的交线为椭圆．
故选D．

点评：本题用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；注意利用一个角相应的三角函数值求得角的度数．本题考查了圆锥的截面．以及从截面与轴截面的不同位置关系得到截面的不同形状．