Question

【题目】已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（ ）+f（ ）．当x＞0时，f（x）＞0
（1）判断函数f（x）在R上的单调性并证明；
（2）设函数g（x）与函数f（x）的奇偶性相同，当x≥0时，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），若对任意x∈R，不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（ ）+f（ ），令x=y=0，可得f（0）=0．设x1＞x2，令x=x1，y=x2，

则 ，

可得：则 ，即 ＞0．

∴函数f（x）在R上是单调增函数．

（2）解：令x=0，y=2x，

可得：f（0）=0=f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）=﹣f（x）．

∴f（x）是奇函数，故得g（x）也是奇函数．

当x≥0时，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），

即g（x）=

当x＜0时，g（x）的最大值为m．

对任意x∈R，不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立，

只需要：1≥3m﹣（﹣2m），

解得： ．

∵m＞0

故得实数m的取值范围是（0， ]．

【解析】（1）函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（ ）+f（ ），令x=y=0，可得f（0）=0．设x1＞x2，令x=x1，y=x2，带入f（x）=f（ ）+f（ ）．利用x＞0时，f（x）＞0，可判断单调性．（2）求解f（x）的奇偶性，可得g（x）的奇偶性，x≥0时，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），利用奇偶性求g（x）的解析式，判断单调性，从而求解不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立时实数m的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的函数的奇偶性，需要了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能得出正确答案．