Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率

3

2

，椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4，直线l过点P（1，0）与椭圆C交于不同的两点A，B．
（I）求椭圆C的方程；
（II） 若

AP

=λ

PB

，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率

3

2

，解得a=2，c=

3

，b=1，由此能求出椭圆C的方程．
（II）直线l过点P（1，0），当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程是x=1，此时

AP

=

PB

，λ=1；当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y=k（x-1），当k=0时，λ取最大值3或取最小值

1

3

．

解答：解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率

3

2

，
椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4，
∴

c a = 3 2 2a=4 a2=b2+c2

，
解得a=2，c=

3

，b=1，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1．
（II）∵直线l过点P（1，0），
①当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程是x=1，
此时

AP

=

PB

，λ=1；
②当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，
△=64k⁴-4（4k²+1）（4k²-4）=48k²+16＞0，直线与圆恒有公共点，下对参数的取值范围进行讨论
当k=0时，A（2，0），B（-2，0），P（1，0），或B（2，0），A（-2，0），P（1，0），
当A（2，0），B（-2，0），P（1，0）时，

AP

=(-1，0)，

PB

=(-3，0)
λ_min=

AP

PB

=

1

3

；
当B（2，0），A（-2，0），P（1，0）时，

AP

=(3，0)，

PB

=(1，0)
λ_max=

AP

PB

=3．
∴实数λ的取值范围是[

1

3

，3]．
故实数λ的取值范围是[

1

3

，3]．

点评：本题考查椭圆的方程和求实数λ的取值范围，考查直线和椭圆的位置关系及相关知识，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．