Question

函数y=f（x），是定义在[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）无零点，设函数F（x）=f²（x）+f²（-x），对于F（x）有如下四个说法：①定义域是[-b，b]；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增；其中正确说法的个数有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer 1

【答案】分析：根据题意，依次分析4个命题，对于①，对于F（x）=f²（x）+f²（-x），有a≤x≤b且a≤-x≤b，结合0＜b＜-a，可得-b≤x≤b，即F（x）的定义域为[-b，b]；①正确；对于②，对于F（x），由①的结论可知其定义域关于原点对称，又有F（-x）=f²（-x）+f²（x），故F（x）是偶函数；②正确；对于③，无法判断F（x）在定义域上的最值，故错误；对于④，由②的结论，F（x）是偶函数，则F（x）在定义域内不是单调函数，④错误；综合可得答案．
解答：解：根据题意，依次分析4个命题，
①，对于F（x）=f²（x）+f²（-x），有a≤x≤b且a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，则|b|＜|a|，可得-b≤x≤b，故F（x）的定义域为[-b，b]；①正确；
②，对于F（x）=f²（x）+f²（-x），由①的结论可知其定义域关于原点对称，又有F（-x）=f²（-x）+f²（x），故F（x）是偶函数；②正确；
③，无法判断F（x）在定义域上的最值，不一定有最小值，最小值也不一定为0；故错误；
④，由②的结论，F（x）是偶函数，关于原点对称的区间上，函数的单调性相反，则F（x）在定义域内不是单调函数，④错误；
即①②两个命题正确，
故选C．
点评：本题考查综合函数奇偶性与单调性，解题的关键是利用转化思想，把单调性与奇偶性结合起来．