Question

已知函数y=

x

x-1

，给出下列四个命题：
（1）函数图象关于点（1，1）对称；
（2）函数图象关于直线y=2-x对称；
（3）函数在定义域内单调递减；
（4）将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数y=

1

x

的图象重合；
其中错误命题的序号为

（3）

．

Answer 1

分析：将函数进行化简得到y=1+

1

x-1

，利用与函数y=

1

x

的图象关系，进行分别判断．

解答：解：函数y=

x

x-1

=1+

1

x-1

．
（1）因为函数y=

1

x

的对称中心是（0，0），所以函数y=

x

x-1

的对称中心是（1，1），所以正确．
（2）设函数图象的任意一点为（x，y），则点关于直线y=2-x对称的点的坐标为（2-y，2-x），则点（2-y，2-x）满足函数y=

x

x-1

，所以（2）正确．
（3）因为函数的定义域为{x|x≠1}，所以函数在定义域内不单调，所以（3）错误．
（4）将函数图象向左平移一个单位，得到y=1+

1

x+1-1

=1+

1

x

，然后再向下平移一个单位后，得到y=1+

1

x

-1=

1

x

，所以（4）正确．
故答案为：（3）．

点评：本题主要考查分式函数的图象和性质，要求熟练掌握分式函数的变化技巧，分子常数化是解决分式函数最常用的方法．