Question

10．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c且2c•cos²$\frac{A}{2}$=b+c．
（1）判断△的形状，并求sinA+sinB的取值范围；
（2）如图，三角形ABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的非负半轴上运动，AC=2，BC=1，求O，B间距离的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理、二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式化简已知式子，再由角的范围求出cosC的值，由特殊角的余弦值求出C，判断出三角形的形状，由诱导公式、辅助角公式化简sinA+sinB，利用角的范围和正弦函数的形状求出sinA+sinB的范围；
（2）设∠ACO=x、过点B作BD垂直与x轴，由图象和条件求出B的坐标，利用两点之间的距离公式表示出|0B|²，利用平方关系、二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式化简，由x的范围和正弦函数的性质求出O，B间距离的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，2c•cos²$\frac{A}{2}$=b+c，
由正弦定理得2sinC•$\frac{1+cosA}{2}$=sinB+sinC，
∴sinC+sinCcosA=sin（A+C）+sinC，
∴sinCcosA=sinAcosC+sinCcosA，则sinAcosC=0，
又A、C∈（0，π），
则cosC=0，∴C=$\frac{π}{2}$；
则△ABC是直角三角形，
∴sinA+sinB=sinA+cosB=$\sqrt{2}$$sin（A+\frac{π}{4}）$，
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}＜A+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，则$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（A+\frac{π}{4}）≤1$，
∴sinA+sinB的范围是（1，$\sqrt{2}$）；
（2）设∠ACO=x，x∈（0，$\frac{π}{2}$），则CO=2cosx，
过点B作BD垂直与x轴，D为垂足，则∠BOC=$\frac{π}{2}$-x，
即B（2cosx+sinx，cosx），
∴|0B|²=（2cosx+sinx）²+cos²x=4cos²x+4sinxcosx+1
=4×$\frac{1+cos2x}{2}$+2sin2x+1=$2\sqrt{2}$$sin（2x+\frac{π}{4}）$+3，
∵0＜x＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}＜2x+\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$，则$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（2x+\frac{π}{4}）≤1$，
∴$-2＜2\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）≤2\sqrt{2}$，则$1＜|0B{|}^{2}≤3+\sqrt{2}$，
∴O，B间距离的取值范围是（1，$\sqrt{2}+$1]．

点评 本题考查正弦定理、二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式的应用，以及正弦函数的性质，考查化简、变形能力，注意内角的范围，属于中档题．