Question

函数f（x）=x³+bx²+cx+d在区间[-1，2]上是减函数，则2b+c的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：待定系数法,导数的综合应用

分析：由函数在给定区间上是减函数，则其导数在该区间上恒小于或等0，得出b，c的关系，利用不等式的性质就能求出2b+c的取值范围．

解答： 解：f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函数f（x）=x³+bx²+cx+d在区间[-1，2]上是减函数，∴f′（x）=3x²+2bx+c≤0在[-1，2]上恒成立，
∴

f′(-1)=3-2b+c≤0 f′(2)=12+4b+c≤0

⇒

-2b+c≤-3 4b+c≤-12

设2b+c=x（-2b+c）+y（4b+c），得2b+c=（-2x+4y）b+（x+y）c，由系数相等得：

-2x+4y=2 x+y=1

解得：x=

1

3

，y=

1

3

，
∴2b+c=

1

3

(-2b+c)+

2

3

(4b+c)∈（-∞，-9]．
故答案为：（-∞，-9]．

点评：本题考查了函数的单调性，不等式的性质，属于基础题．也可以运用线性规划来解决此题．