Question

已知函数f（x）=x³+ax²-2x+5．
（1）若函数f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，求实数a的值；
（2）是否存在正整数a，使得f（x）在（，）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²+2ax-2
∵f（x）=x³+ax²-2x+5在（，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴f′（1）=0，
∴a=-． …（6分）
（2）令f′（x）=3x²+2ax-2=0．
∵△=4a²+24＞0，∴方程有两个实根，…（8分）
分别记为x₁ x₂．由于x₁•x₂=-，说明x₁，x₂一正一负，
即在（，1）内方程f′（x）=0不可能有两个解．…（10分）
故要使得f（x）在（，）上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是
f′（）•f′（）＜0，即（+a-2）（+a-2）＜0．…（13分）
解得． …（15分）
∵a是正整数，∴a=2．…（16分）
分析：（1）先求导函数，再根据f（x）=x³+ax²-2x+5在（，1）上递减，在（1，+∞）上递增，可得f′（1）=0，从而可求实数a的值；
（2）求出函数的导数，由题意得在（，1）内方程f′（x）=0不可能有两个解，故要使得f（x）在（，）上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是f′（）•f′（）＜0，从而可得实数a的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的极值，同时考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是得出在（，1）内方程f′（x）=0不可能有两个解