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已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,其中都是数列{an}中满足ah-ak=ak-am的任意项.
(I)证明:m+h=2k;
(II)证明:Sm•Sh≤Sk2
(III)若数学公式也在等差数列,且a1=a,求数列的前n项和.

解:(I)证明:设数列{an}的公差为d,由题意a1<0,d>0.
∵ah-ak=ak-am
∴(h-k)d=(k-m)d,
∴m+h=2k.
(II)证明:=
∴Sm•Sh≤Sk2
(III)取m=1,k=2,h=3,显然a1,a2,a3满足a3-a2=a2-a1
也成等差数列,则
两边平方得
再两边平方整理得4a12-4a1d+d2=0,即(2a1-d)2=0,
∴d=2a1=2a.∴an=(2n-1)a,Sn=n2a,
分析:(I)根据等差数列的通项公式,用公差d,首项a1 将ah,ak,am 表示出,化简整理寻求h,k,m的关系.
(II)根据等差数列{an}的前n项和公式,将Sm•Sh与 Sk2 求出,,Sk2=利用基本不等式,结合已知,,(a1+am)(a1+ah=(a1+ak2合理的放缩转化,进行证明.
(III)只要求得公差d,则数列的前n项和可求.不妨取m,n,h的一组特殊值寻求突破.取m=1,k=2,h=3.
点评:本题考查等差数列的性质、前n项公式及计算,放缩法证明不等式.要求有较强的分析解决问题的能力,具备特殊化法突破困难的意识.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正项等差数列{an}的前20项和为100,则a5•a16的最大值是(  )
A、100B、75C、25D、50

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已知正项等差数列{an}的前20项的和为100,那么a7a14的最大值为(  )
A、75B、100C、50D、25

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已知非零向量
OA
OB
OC
OD
满足:
OA
OB
OC
OD
(α,β,γ∈R)
,B、C、D为不共线三点,给出下列命题:
①若α=
3
2
,β=
1
2
,γ=-1
,则A、B、C、D四点在同一平面上;
②当α>0,β>0,γ=
2
时,若|
OA
|=
3
|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|=1
OB
OC
>=
6
OD
OB
>=<
OD
OC
>=
π
2
,则α+β的最大值为
6
-
2

③已知正项等差数列an(n∈N*),若α=a2,β=a2009,γ=0,且A、B、C三点共线,但O点不在直线BC上,则
1
a3
+
4
a2008
的最小值为9;
④若α+β=1(αβ≠0),γ=0,则A、B、C三点共线且A分
BC
所成的比λ一定为
α
β

其中你认为正确的所有命题的序号是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,其中都是数列{an}中满足ah-ak=ak-am的任意项.
(I)证明:m+h=2k;
(II)证明:Sm•Sh≤Sk2
(III)若
Sm
Sk
Sh
也在等差数列,且a1=a,求数列的前n项和.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•成都一模)已知非零向量
OA
OB
OC
OD
满足:
OA
OB
Z+β
OC
Z+γ
OD
Z(α,β,γ∈R),B、C、D为不共线三点,给出下列命题:
①若α=
3
2
,β=
1
2
,γ=-1,则A、B、C、D四点在同一平面上;
②若α=β=γ=1,|
OB
Z|+|
OC
|+|
OD
|=1,<
OB
OD
>=<
OC
OD
>=
π
2
,<
OB
OC
>=
π
3
,则|
OA
|=2;
③已知正项等差数列{an}(n∈N*Z),若α=a2,β=a2009,γ=0,且A、B、C三点共线,但O点不在直线BC上,则
1
a3
+
4
a2008
的最小值为10;
④若α=
4
3
,β=-
1
3
Z,γ=0,则A、B、C三点共线且A分
BC
所成的比λ一定为-4
其中你认为正确的所有命题的序号是
①②
①②

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