Question

必做题，本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．
（1）若点F到直线l的距离为

3

，求直线l的斜率；
（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．（6分）

Answer 1

分析：（1）设出直线l的方程y=k（x-4），利用点F到直线l的距离为

3

，即可求得k的值；
（2）设AB中点的坐标为N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依题意直线MN的斜率为

y0

x0-4

，直线AB的斜率为k_AB=

4-x0

y0

，从而可得AB的方程，与抛物线y²=4x联立，结合韦达定理即可求得AB中点的横坐标．

解答：必做题，本小题（10分）．
解：（1）由已知得F（1，0），又直线l过点M（4，0），
当直线l斜率不存在时，l的方程为：x=4，点F到直线l的距离为3，与题意不符；
∴直线l斜率存在，设为k，则l的方程为：y=k（x-4），…（2分）
∵点F到直线l的距离为

3

，
∴

|k-4k|

1+k2

=

3

，
∴k=±

2

2

…（4分）
（2）设AB中点的坐标为N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为

y0

x0-4

，直线AB的斜率为k_AB=

4-x0

y0

，
直线AB的方程为y-y0=

4-x0

y0

(x-x0)，…（5分）
联立方程

y-y0= 4-x0 y0 (x-x0) y2=4x

消去x得(1-

x0

4

)y2-y0y+

y

2 0

+x0(x0-4)=0，…（7分）
所以y1+y2=

4y0

4-x0

，…（8分）
因为N为AB中点，所以

y1+y2

2

=y0，即

2y0

4-x0

=y0，…（9分）
所以x₀=2．即线段AB中点的横坐标为定值2．…（10分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，着重考查点到直线间的距离公式及直线与圆锥曲线的联立，突出考查方程思想与化归思想，属于难题．