【题目】已知函数在
处的切线经过点
(1)讨论函数的单调性;
(2)若不等式恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)在
单调递减;(2)
.
【解析】试题分析:
(1)对函数进行求导,结合导函数与切线的关系求得 实数 的值,确定函数的解析式之后即可讨论函数的单调性.
(2)分离系数后讨论 的取值范围即可,构造新函数后求导,讨论新函数的值域,注意讨论值域时利用反证法假设存在实数
满足
,由得出的矛盾知假设不成立,即函数的最小值开区间处为
.
试题解析:
(1)由题意得
∴,
∴在
处的切线方程为
即,
∵点在该切线上,∴
,
∴
函数在
单调递减;
(2)由题意知且
,
原不等式等价于
,
设,
由(1)得在
单调递减,且
,
当时,
;当
时,
;
∴,
假设存在正数,使得
,
若,当
时,
;
若,当
时,
;
∴不存在这样的正数,使得
,∴
的值域为
∴的取值范围为
.
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【题目】我市某商业公司为全面激发每一位职工工作的积极性、创造性,确保2017年超额完成销售任务,向党的十九大献礼.年初该公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:每季度销售利润不超过15万元时,则按其销售利润的进行奖励;当季销售利润超过15万元时,若超过部分为
万元,则超出部分按
进行奖励,没超出部分仍按季销售利润的
进行奖励.记奖金总额为
(单位:万元),季销售利润为
(单位:万元).
(Ⅰ)请写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式;
(Ⅱ)如果业务员李明在本年的第三季度获得5.5万元的奖金,那么,他在该季度的销售利润是多少万元?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,与直角坐标系
取相同的单位长度建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)化曲线的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)设曲线与
轴的一个交点的坐标为
,经过点
作斜率为1的直线,
交曲线
于
两点,求线段
的长.
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【题目】设抛物线的顶点在坐标原点,焦点在
轴上,过点
的直线交抛物线于
两点,线段
的长度为8,
的中点到
轴的距离为3.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设直线在
轴上的截距为6,且抛物线交于
两点,连结
并延长交抛物线的准线于点
,当直线
恰与抛物线相切时,求直线
的方程.
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【题目】从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会,问:
(1)如果4人中男生和女生各选2人,有多少种选法?
(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有多少种选法?
(3)如果4人中必须既有男生又有女生,有多少种选法?
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【题目】已知函数 的定义域为
,若对于任意的
,
,都有
,且当
时,有
.
(1)证明: 为奇函数;
(2)判断 在
上的单调性,并证明;
(3)设 ,若
(
且
)对
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】某城市要建成宜商、宜居的国际化新城,该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家,现对两个区域的16个厂家进行评估,综合得分情况如茎叶图所示.
(1)根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高;
(2)规定85分以上(含85分)为优秀厂家,若从该两个区域各选一个优秀厂家,求得分差距不超过5分的概率.
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【题目】2017年“一带一路”国际合作高峰论坛于今年5月14日至15日在北京举行.为高标准完成高峰论坛会议期间的志愿服务工作,将从27所北京高校招募大学生志愿者,某调查机构从是否有意愿做志愿者在某高校访问了80人,经过统计,得到如下丢失数据的列联表:(,表示丢失的数据)
无意愿 | 有意愿 | 总计 | |
男 | 40 | ||
女 | 5 | ||
总计 | 25 | 80 |
(1)求出的值,并判断:能否有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关;
(2)若表中无意愿做志愿者的5个女同学中,3个是大学三年级同学,2个是大学四年级同学.现从这5个同学中随机选2同学进行进一步调查,求这2个同学是同年级的概率.
附参考公式及数据: ,其中
.
0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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