Question

求（2-3×5^-1）+（4-6×5^-2）+（6-9×5^-3）+…+（2n-3n×5^-n）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：原式=（2+4+…+2n）-（

3

5

+

6

52

+…+

3n

5n

），设S_n=

3

5

+

6

52

+…+

3n

5n

，利用“错位相减法”即可得出．对于2+4+…+2n，利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：原式=（2+4+…+2n）-（

3

5

+

6

52

+…+

3n

5n

），
设S_n=

3

5

+

6

52

+…+

3n

5n

，
∴

1

5

Sn=

3

52

+

6

53

+…+

3(n-1)

5n

+

3n

5n+1

，
∴

4

5

Sn=

3

5

+

3

52

+…+

3

5n

-

3n

5n+1

=3×

1 5 (1- 1 5n )

1- 1 5

-

3n

5n+1

=3×

1

4

(1-

1

5n

)-

3n

5n+1

，
∴S_n=

15

16

-

3

16•5n-1

-

3n

4•5n

．
∴原式=

n(2+2n)

2

-

15

16

+

3

16•5n-1

+

3n

4•5n

．
=n+n²-

15

16

+

3

16•5n-1

+

3n

4•5n

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．