Question

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos²A=sin²B+cos²C+sinAsinB．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=

3

，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出；
（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出．

解答：解：（I）∵cos²A=sin²B+cos²C+sinAsinB，
∴1-sin²A=sin²B+1-sin²C+sinAsinB，
∴sin²A+sin²B-sin²C=-sinAsinB，
∴a²+b²-c²=-ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=-

1

2

，
又0＜C＜π，∴C=

2π

3

．
（2）∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，∴a=2sinA，b=2sinB，
则△ABC的周长L=a+b+c=2（sinA+sinB）+

3

=2（sinA+sin(

π

3

-A)）+

3

=2sin(A+

π

3

)+

3

，
∵0＜A＜

π

3

，

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin(A+

π

3

)≤1，即2

3

＜2sin(A+

π

3

)≤2+

3

，
∴△ABC周长的取值范围是(2

3

，2+

3

]．

点评：熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键．