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如果有穷数列a1,a2,…,an(n∈N*)满足条件:a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1,(i=1,2,…,n)我们称其为“对称数列”.例如:数列1,2,3,3,2,1 和数列1,2,3,4,3,2,1都为“对称数列”.已知数列{bn}是项数不超过2m(m>1,m∈N*)的“对称数列”,并使得1,2,22,…,2m-1依次为该数列中连续的前m项,则数列{bn}的前2009项和S2009所有可能为:①22009-1  ②2(22009-1)③3•2m-1-22m-2010-1  ④2m+1-22m-2009-1;其中正确的有(  )个.
A、1B、2C、3D、4
分析:由题意由于新定义了对称数列,且已知数列bn是项数为不超过2m(m>1,m∈N*)的“对称数列”,并使得1,2,22,…,2m-1依次为该数列中前连续的m项,故数列bn的前2009项利用等比数列的前n项和定义直接可求①②的正确与否;对于③④,先从等比数列的求和公式求出任意2m项的和,再利用减法得到需要的前2009项的和,即可判断.
解答:解:因为数列bn是项数为不超过2m(m>1,m∈N*)的“对称数列”,并使得1,2,22,…,2m-1依次为该数列中前连续的m项,
所以分数列的项数是偶数和奇数讨论.
若数列含偶数项,则数列可设为1,21,22,…,2m-1,2m-1,…,22,21,1
当m-1≥2008时,S2009=
1×(1-22009)
1-2
=22009-1,所以①正确;
当1004≤m-1<2008时,S2009=2
1×(1-2m)
1-2
-
1×(1-22m-2009
1-2
=2m+1-22m-2009-1,所以④正确;
若数列含奇数项,则数列可设为可设为1,21,22,…,2m-2,2m-1,2m-2…,22,21,1
当m-1≥2008时,S2009=22009-1;
当1004≤m-1<2008时,所以S2009=2
1×(1-2m-1
1-2
+2m-1-
1×(1-22m-1-2009
1-2
=3•2m-1-22m-2010-1,所以③正确.
故选C
点评:本题以新定义对称数列为切入点,运用的知识都是数列的基本知识:等差数列的通项及求和公式,等比数列的通项及求和公式,还体现了分类讨论在解题中的应用.
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如果有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足a1=am,a2=am-1,…,am=a1.即ai=am-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列“例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.设{bn}是项数为2m(m>1,m∈N*)的“对称数列”,并使得1,2,22,23,…,2m-1依次为该数列中连续的前m项,则数列{bn}的前2010项和S2010可以是
(1)22010-1     (2)21006-2       (3)2m+1-22m-2010-1
其中正确命题的个数为(  )
A、0B、1C、2D、3

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其中命题正确的个数为(  )
A、1B、2C、3D、4

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如果有穷数列a1a2,…,an(n∈N*)满足条件:a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1,(i=1,2,…,n)我们称其为“对称数列”.例如:数列1,2,3,3,2,1 和数列1,2,3,4,3,2,1都为“对称数列”.已知数列{bn}是项数不超过2m(m>1,m∈N*)的“对称数列”,并使得1,2,22,…,2m-1依次为该数列中连续的前m项,则数列{bn}的前2009项和S2009所有可能的取值的序号为(  )
①22009-1   ②2(22009-1)③3•2m-1-22m-2010-1   ④2m+1-22m-2009-1.

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①  22009—1    ②2·(22009—1)    ③3×2m-1—22m-2010—1    ④2m+1—22m-2009—1

 

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