Question

20．如图，在三棱锥O-ABC中，M，N分别是棱OA、CB的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，设$\overrightarrow{OA}$=a，$\overrightarrow{OB}$=b，$\overrightarrow{OC}$=c．
（1）试用a，b，c表示向量$\overrightarrow{MN}$和$\overrightarrow{OG}$；
（2）若OA=0B=OC=2，且∠AOB=∠BOC=60°，∠AOC=90°，求$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OG}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意结合平面向量的加减法运算求得$\overrightarrow{MN}$和$\overrightarrow{OG}$；
（2）把（1）中的$\overrightarrow{MN}$和$\overrightarrow{OG}$利用多项式乘多项式展开，再结合数量积公式求值．

解答 解：（1）如图，连接ON，∵M，N分别是棱OA、CB的中点，且MG=2GN，
∴$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）$．
$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MG}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$；
（2）∵OA=0B=OC=2，且∠AOB=∠BOC=60°，∠AOC=90°，
∴$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•\frac{1}{3}（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$
=$\frac{1}{6}|\overrightarrow{b}{|}^{2}+\frac{1}{6}|\overrightarrow{c}{|}^{2}-\frac{1}{12}|\overrightarrow{a}{|}^{2}$$-\frac{1}{12}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}-\frac{1}{12}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$
=$\frac{1}{6}×4+\frac{1}{6}×4-\frac{1}{12}×4-\frac{1}{12}×2×2cos60°+\frac{1}{3}×2×2cos60°$
=1$-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}×2$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加减混合运算及其几何意义，考查计算能力，是中档题．